Nombres complexes

Ces nombres ont été inventés au XVI^e siècle, par les Italiens Jérôme Cardan et Rafaello Bombelli notamment, afin de résoudre des équations n’ayant pas de solutions  dans les nombres réels, telles que x² + 1 = 0 ou x⁴ + 2 = 0.

L’idée est d’introduire un symbole i (pour désigner l’unité imaginaire) vérifiant i² = -1 (c’est-à-dire que formellement, on peut écrire i = ; la notation i a été introduite en 1777 par Euler). Ce symbole "résout" donc l’équation auparavant impossible x² + 1 = 0. On étend alors la notion de nombre en considérant toutes les combinaisons de la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels. L’ensemble de ces nombres , appelés complexes, est noté C. Il inclut les nombres réels (cas où b = 0). Les nombres complexes dont la partie réelle a est nulle (comme le nombre 2i) sont dits imaginaires.

L’intérêt des nombres complexes est immense. Avec eux, notamment, tout polynôme P(x) - que ses coefficients soient (2) réels ou complexes - possède au moins une racine complexe (c’est-à-dire un nombre x₀ tel que P(x₀) = 0). Les nombres complexes permettent de simplifier considérablement les calculs de circuits électriques où le courant est alternatif (un tel courant peut s’écrire A cos (wt), qui est la partie réelle de A e^iwt), rentrent dans la formulation des principes de la mécanique quantique, etc. Plus utile encore est l’analyse complexe, c’est-à-dire l’étude des fonctions f(z) dont la variable z peut prendre des valeurs complexes. L’analyse complexe fait apparaître des propriétés tout à fait remarquables et permet de calculer des intégrales, s’applique à l’aérodynamique ou à la mécanique des fluides, à l’étude des nombres premiers, etc.

Entiers de Gauss

Il s’agit des nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont des nombres entiers. Ils possèdent des propriétés arithmétiques assez analogues à celles des nombres entiers (divisibilité, décomposition en facteurs "premiers", etc.)

Nombres algébriques

On appelle ainsi les nombres qui sont la racine d’un polynôme dont les coefficients sont entiers (ou, ce qui revient au même, rationnels).
Par exemple, est un nombre réel algébrique, puisqu’il est solution de l’équation à coefficients entiers x² - 3 = 0. De même, 1 + i, qui est solution de x² - 2x + 2 = 0, est un nombre complexe algébrique.

Nombres transcendants

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants. Autrement dit, il n’existe aucun polynôme à coefficients entiers dont ils sont la racine. Ainsi, le nombre p est transcendant, comme l’a démontré en 1882 le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann. Les nombres transcendants sont infiniment plus nombreux que les nombres algébriques.

Quaternions 

Ces nombres, appelés aussi hypercomplexes, ont été inventés en 1843 par l’Irlandais William Rowan Hamilton, qui cherchait une généralisation des nombres complexes. Ils sont de la forme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d sont des nombres réels et où i, j, k sont des symboles vérifiant i² = j² = k² = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i et ki = -ik = j.

L’algèbre vérifiée par les quaternions est apparue de façon naturelle dans l’étude de certaines autres structures mathématiques (certains "groupes"), à la fin du XIX^e siècle. En particulier, cette algèbre est tout à fait analogue à celle utilisée en physique quantique pour décrire une particule de spin 1/2.

Nombres transfinis

Il s’agit de la généralisation de la notion de nombre aux ensembles infinis.
Les cardinaux transfinis sont une mesure du nombre d’éléments que comporte un ensemble infini; de même, les ordinaux transfinis généralisent la notion d’ordre aux ensembles infinis.

On dit que deux ensembles ont même cardinal s’il existe une correspondance bi-univoque entre leurs éléments. Par exemple, l’ensemble N des entiers positifs est de même cardinal que l’ensemble des entiers positifs pairs. Le cardinal de N est désigné par À₀, À (aleph) étant (3) la première lettre de l’alphabet hébreu. Ce premier cardinal transfini est aussi celui de l’ensemble Q des nombres rationnels, ainsi que celui de l’ensemble des nombres algébriques. Tout ensemble ayant même cardinal que N est dit dénombrable. En revanche, l’ensemble des nombres irrationnels est d’un cardinal supérieur à À₀: ces nombres sont infiniment plus "nombreux" que les entiers ou les rationnels.