Les entiers naturels ou arithmétiques 1, 2, 3 ... constituent un ensemble noté N*. En ajoutant à N* l’élément 0, on obtient un nouvel ensemble N. N et N* contiennent une infinité ordonnée d’éléments: 0 < 1 < 2 < ... . Les opérations sur ces nombres sont connues; nous allons rappeler (1) leurs propriétés essentielles.
 

Addition. Quels que soient les entiers (2) a et b, on définit leur somme s = a + b, qui est aussi un entier. L’addition fait donc correspondre à deux éléments quelconques a et b de N un élément s de N; c’est pourquoi on dit que l’addition est une loi de composition interne sur N. Elle est:

associative (a + b) + c = a + (b + c)

commutative a + b = b + a

L’égalité a + 0 = 0 + a = a se traduit en disant que 0 est un élément neutre pour l’addition dans N.

Cet élément neutre est unique, car si b n’est pas nul, a + b est supérieur et jamais 

égal à a.
 

Soustraction. Soit a  N et b  N; si a  b, il existe un seul nombre d  N tel que 
a = b + d. On écrit: d = a – b.

Mais la soustraction n’est pas une loi de composition interne sur N, car elle n’est pas toujours possible: a b est une condition nécessaire et suffisante d’existence de la différence d.
 

Multiplication. Quels que soient a et b N, on définit p = a× b; le produit p appartient à N, la multiplication est donc une loi de composition interne sur N. Elle est:

associative

commutative

distributive pour l’addition

Elle admet pour élément neutre le nombre 1 car: 

Division. Soit a  N et b  N*; il n’existe pas en général de nombre q  N tel que a = bq. Exemple: a = 15 et b = 4. Si q existe, il est unique; c’est le quotient de la division de a par b.