Texte 6

Théorème ergodique multiplicatif d'Osseledets

 

Exposants caractéristiques Nous considérons une suite stationnaire  de matrices réelles carrées d ´ d et  nous formons le produit . On peut toujours se ramener au modèle suivant: soit (x, Q, m) un espace probabilisé et q une application mesurable de X dans X qui laisse m invariante  pour tout B de Q) et soit A une application mesurable de X dans les matrices d ´ d. On obtient une suite stationnaire en posant  et alors on note: Notons E l’espace euclidien  et pour p entier naturel,  E les espaces puissance extérieure de E. (On peut considérer  E comme l’espace des formes p-linéaires alternées sur le dual E*). Si A désigne une matrice d ´ d, indentifiée à l’opérateur de E dans lui-même, nous notons  A l’opérateur de  E dans lui- même canoniquement associé à A (par exemple par la formule: . Nous noterons ½½ ½½ une norme quelconque sur chaque espace de matrices. La proposition suivante définit les exposants caractéristiques de la suite  ou plutôt de la famille (X,Q,m,q ,A).