Un autre exemple important est le cas des produits de matrices indépendantes: nous montrons comment le théorème d’Osseledets permet de retrouver des résultats connus comme la formule de Fürstenberg donnant le plus grand exposant. Nous montrons également le critère de Fürstenberg pour assurer que les exposants ne sont pas tous égaux. Pour cela, en suivant la démonstration originale de Fürstenberg, nous introduisons une entropie associée à la marche aléatoire et nous montrons que cette entropie est plus petite que le plus grand exposant. Nous avons également ici en dimension 2 une formule liant cette entropie, l’exposant et une dimension de la mesure invariante.

Nous donnons enfin deux autres exemples de problèmes où le théorème d’Osseledets intervient dans l’étude d’équations aux différences à coefficients aléatoires. Par exemple Pastour a montré que l’opérateur de Schrödinger a un spectre singulier presque partout dès que l’exposant d’une certaine famille de matrices est positif. Nous reprenons son argument et donnons deux exemples. Nous mentionnons également un résultat récent de Key qui caractérise la récurrence de certaines marches aléatoires en milieu aléatoire sur Z par le fait que deux certains exposants sont nuls pour un produit de matrices naturellement associé au modèle.