Texte 2 :

Les grandes catégories de nombres

     

    Entiers naturels
    Ainsi sont appelés les nombres entiers positifs 1, 2, 3, 4, ... L’ensemble de ces nombres est noté (1) N*. Lorsqu’on y  inclut le nombre zéro, on le note N.

    Nombres premiers
    Un nombre entier positif est dit  premier s’il n’est divisible que  par 1 et par lui-même . Par exemple 3, 5, 67, 103 sont des nombres premiers. Tout entier positif peut s’écrire de façon unique comme un produit de nombres premiers. Par exemple: 504 = 23´´ 7.

    Entiers
    Lorsqu’on adjoint un signe "moins" aux entiers naturels, on obtient les entiers négatifs (-1, -2, -3, etc.). Avec les entiers naturels, ils constituent l’ensemble des entiers (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...). Cet ensemble, dit  aussi des "entiers relatifs", est noté  Z.

    Nombres rationnels
    Il s’agit des nombres qui peuvent s’écrire comme un rapport de deux entiers, c’est-à-dire comme une fraction.
    En d’autres termes, un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers (l’écriture n’est pas unique). Par exemple 1/2, -2/3, 8/9 = 16/18, 6/2 = 3/1 = 3 sont des nombres rationnels.
    L’ensemble des nombres rationnels est désigné  par Q. L’ensemble Z des entiers en est un sous-ensemble.
    Le développement décimal d’un nombre rationnel comporte toujours un groupe de chiffres (éventuellement un seul chiffre) qui  se répète infiniment, à partir d’un certain rang. Par exemple, 23,0215454545454.... est le développement décimal de 253 237/11 000.

    Nombres irrationnels

    Ce sont les nombres dont  le développement décimal est infini et non périodique. Ils ne peuvent donc pas s’écrire comme un rapport d’entiers. Par exemple, = 1,4142 .... est irrationnel, comme l’avaient prouvé  les Pythagoriciens. Autres exemples d’irrationnels: p, 1 + , etc. De fait, la plupart des nombres sont irrationnels. Leur infinité est en effet d’un ordre supérieur à celle  des nombres rationnels. Par ailleurs, la plupart des irrationnels sont aussi transcendants.

    Nombres réels

    L’ensemble des nombres réels réunit l’ensemble des rationnels et l’ensemble des irrationnels; il est noté  R.
    L’ensemble R a été rigoureusement "construit"  durant la deuxième moitié du XIXe siècle par diverses méthodes. Plusieurs mathématiciens y  ont contribué (le Français Charles Méray, les Allemands Karl Weierstrass, Richard Dedekind et Georg Cantor, etc.). Dans la méthode de Cantor, on considère des suites d’éléments de Q (c’est-à-dire 
    de nombres rationnels) possédant  une certaine propriété technique (il s’agit des "suites de Cauchy"). Un exemple est 
    la suite de nombres rationnels 1, 1 -1/3, 1 -1/3 + 1/5, 1 -1/3 + 1/5 -1/7, etc. Cette suite converge vers le nombre 0,78539816.... (qui  est égal à p /4). La limite d’une telle suite de rationnels n’est pas toujours un nombre rationnel, comme le montre cet exemple. Mais on peut définir sur ces limites les mêmes opérations (addition, multiplication, etc.) qui  ont cours sur les nombres rationnels. L’ensemble des nombres réels est alors obtenu  en "complétant" l’ensemble Q avec les limites de suites convergentes de nombres rationnels. Ainsi construit , l’ensemble R comprend les nombres rationnels et les nombres irrationnels (lesquels  sont, grâce à cette construction, bien définis), et permet par ailleurs de décrire tous les points d’une droite: à tout point d’une droite on peut associer un nombre réel et un seul, et réciproquement.
     

Exercices