(a) Montrer (1) que l’équation différentielle
(1)
admet, au voisinage de l’origine, une solution polynôme (du troisième
degré) et la solution .
(b) Ecrire (1) la résolvante ,
pour , du système
du premier ordre
(2)
associé à l’équation (1).
Que devient cette résolvante pour ?
Etudier (1) le comportement des solutions de (1) au voisinage
du point (0, y0); on montrera (2) en particulier
que la différence de deux telles solutions est 0(x3).
(c) Montrer (1), en utilisant (3) la résolvante,
que la solution de l’équation
(3)
qui s’annule pour x = x0 ainsi que sa
dérivée première est
.
Montrer (1) que y(x, 0) a encore un sens et que c’est une des
solutions de (3) telles que f(0) = f’(0) = 0.
Montrer (1) que c’est l’unique solution de (3) telle que
f(i)(0) = 0 pour i = 0, 1, 2, 3, 4.