Texte 6

Le calcul différentiel. Exercice

 
(a) Montrer (1) que l’équation différentielle


(1) 

admet, au voisinage de l’origine, une solution polynôme (du troisième degré) et la solution .
 

(b) Ecrire (1) la résolvante , pour , du système du premier ordre


(2) 

associé à l’équation (1).

Que devient cette résolvante pour ?

Etudier (1) le comportement des solutions de (1) au voisinage du point (0, y0); on montrera (2) en particulier que la différence de deux telles solutions est 0(x3).
 

(c) Montrer (1), en utilisant (3) la résolvante, que la solution de l’équation


(3) 

qui s’annule pour x = x0 ainsi que sa dérivée première est

.

Montrer (1) que y(x, 0) a encore un sens et que c’est une des solutions de (3) telles que f(0) = f(0) = 0.

Montrer (1) que c’est l’unique solution de (3) telle que f(i)(0) = 0 pour i = 0, 1, 2, 3, 4.