Localement, l段mage d置ne application générique
d置ne surface fixée fermée M dans R3 est soit
une feuille lisse, soit une intersection transverse de deux ou trois feuilles
lisses, soit un parapluie de Whitney. Les applications dont les images
sont plus compliquées forment une hypersurface discriminante dans
l弾space de
dimension infinie de toutes les applications de
M dans R3.
Le discriminant coupe en
plusieurs composantes connexes. Un invariant numérique est une fonction
localement constante sur \.
Le long d置n chemin générique de ,
nous regardons les sauts d置n invariant au passage du discriminant. Nous
disons que notre invariant est local si chaque saut est complètement
défini par le type de difféomorphisme d置ne perestroika locale
de l段mage au passage du discriminant.
Soit Im¦ l段mage d置ne application
générique ¦ : M R3
d置ne surface orientée. Prenons un point u dans R3 \
Im¦ . Considérons une 2-sphère
petite, avec l弛rientation extérieure, centrée en u. La contraction
radiale de l段mage sur la sphère définit une application
composée de M sur la sphère. Soit deg(u) le degré
de cette application.
R3 \ Im¦ a un nombre fini
de composantes connexes D. deg(u) est constant sur chacune d弾lles. Nous
noterons la valeur correspondante par deg(D).
Nous introduisons l段ntégrale de la fonction deg par rapport
à la caractéristique d脱uler c
:
où la somme est prise sur toutes les composantes connexes de
R3 \ Im¦ .
Il y a 8 (resp. 3) composantes connexes locales du complémentaire
de l段mage au voisinage d置n point triple t (resp. d置n point de
type parapluie p). Nous définissons les degrés deg(t)
et deg(p) comme les moyennes arithmétiques des 8 ou 3 degrés
correspondants.
On pose
où la somme est prise sur tous les points triples t et
le parapluie p de l段mage.