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Note sur l段mage d置ne application d置ne surface fermée dans R3

Localement, l段mage d置ne application générique d置ne surface fixée fermée M dans R3 est soit une feuille lisse, soit une intersection transverse de deux ou trois feuilles lisses, soit un parapluie de Whitney. Les applications dont les images sont plus compliquées forment une hypersurface discriminante dans l弾space de dimension infinie de toutes les applications de M dans R3.

Le discriminant coupe en plusieurs composantes connexes. Un invariant numérique est une fonction
localement constante sur \. Le long d置n chemin générique de , nous regardons les sauts d置n invariant au passage du discriminant. Nous disons que notre invariant est local si chaque saut est complètement défini par le type de difféomorphisme d置ne perestroika locale de l段mage au passage du discriminant.

Soit Im¦ l段mage d置ne application générique ¦ : M R3 d置ne surface orientée. Prenons un point u dans R3 \ Im¦ . Considérons une 2-sphère petite, avec l弛rientation extérieure, centrée en u. La contraction radiale de l段mage sur la sphère définit une application composée de M sur la sphère. Soit deg(u) le degré de cette application.

R3 \ Im¦ a un nombre fini de composantes connexes D. deg(u) est constant sur chacune d弾lles. Nous noterons la valeur correspondante par deg(D).

Nous introduisons l段ntégrale de la fonction deg par rapport à la caractéristique d脱uler c :

où la somme est prise sur toutes les composantes connexes de R3 \ Im¦ .

Il y a 8 (resp. 3) composantes connexes locales du complémentaire de l段mage au voisinage d置n point triple t (resp. d置n point de type parapluie p). Nous définissons les degrés deg(t) et deg(p) comme les moyennes arithmétiques des 8 ou 3 degrés correspondants.

On pose

où la somme est prise sur tous les points triples t et le parapluie p de l段mage.